FUNCIONES TRACENDENTES

Las funciones racionales y las irracionales, se denominan funciones algebraicas.

Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales 

• Función exponencial: 

f(x)=a^x; a > 0, a ¹ 1.

• Función logarítmica:
  f(x)=log_a(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial.
• Funciones trigonométricas:
  También llamadas circulares
  f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x); f(x)=cosec(x); f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas y más bien analizar algunos casos, no excesivamente complicados, donde intervengan las primeras.

Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica:

• f(x)=a^x está definida para todo x en R
• f(x)=a^-x=(1/a)^x, a>1, 0<1/a<1
• f(x)=log_a(x) está definida para x>0
• Representaremos el logaritmo decimal log₁₀(x) por log(x) y el logaritmo neperiano log_e(x) por ln(x), siendo e=2,718281... el llamado número 'e'
• f(x)=sen(x) y f(x)=cos(x) están definidas para todo valor de x. Su periodo es 2p
• f(x)=tg(x) no está definida para x=p/2 +kp. Su periodo es p.
• Cuando se trate de funciones compuestas del tipo: a^g(x), log_a(g(x)), tg(g(x)), etc, debemos observar el dominio compuesto de g(x) y de la función trascendente.

• Ejemplo: f(x)=log (x/(x-1)) no está definida para los valores de x/(x-1) donde ésta no lo ésta, x=1, y para los valores x tales que x/(x-1) es menor o igual a 0. Por tanto D_f=(-¥,0)U(1,+¥)

  funcion exponencial: Comenzaremos observando las siguientes funciones:  f(x) = x²   y   g(x) = 2^x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
• 
  
  
  
  Definición:  Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.
  
  
  El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.
  
  
  1) f(x) = 2^x                                  
  
  
  Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:
  
  
  1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
  2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
  3)  El eje de x es la asíntota horizontal.
  4)  Si  b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.
  5)  Si  0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.
  6)  La función f es una función uno a uno.
  
  
  
  
  Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales:
  
  
  1) Leyes de los exponentes:
     
  2)  a^x = a^y  si y sólo si  x = y
  
  
  3)  Para x diferente de cero, entonces a^x = b^x  si y sólo si  a = b 

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